Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $3$. Tính diện tích xung quanh $S_{\text{xq}}$ của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ và đỉnh là tâm hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

**Chọn B**

Hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh bằng $3$ nên bán kính đáy là $R=\frac{3}{2}$.
Chiều cao của hình nón là khoảng cách giữa hai đáy của hình lập phương: $h=3$.
Độ dài đường sinh: $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
Diện tích xung quanh hình nón: $S_{\text{xq}}=\pi Rl=\pi \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9\sqrt{5}\pi }{4}$.