Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Tính góc giữa $C{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ nên góc giữa $C{C}^{\prime }$ và $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Trong hình vuông $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }B\perp A{B}^{\prime }$.
Lại có $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })⟹B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }B$.
Suy ra $A^{\prime }B\perp (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó hình chiếu vuông góc của $A{A}^{\prime }$ lên $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tạo với $A{A}^{\prime }$ góc $\alpha$ thỏa mãn $\alpha =90^{\circ }-\widehat{A^{\prime }AB}=45^{\circ }$.