Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$, gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Tính $\sin \alpha$.

Chọn B.
Gọi $H$ là tâm hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt khác $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp A^{\prime }H$. Do đó $A^{\prime }H\perp (B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.
Vậy hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ là $HB$, suy ra góc giữa $A^{\prime }B$ và $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ là $\widehat{A^{\prime }BH}=\alpha$.
Tam giác $A^{\prime }HB$ vuông tại $H$ có $A^{\prime }H=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $A^{\prime }B=a\sqrt{2}$.
Do đó $\sin \alpha =\frac{A^{\prime }H}{A^{\prime }B}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.