Cho hình nón $(N)$ đỉnh $S$ đường cao $SO$, $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến $(SAB)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{SAO}=30^{\circ },\widehat{SAB}=60^{\circ }$. Thể tích khối nón $(N)$ bằng:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OK\perp SH\Rightarrow d(O,(SAB))=OK=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ có góc $\widehat{SAB}=60^{\circ }$ nên là tam giác đều, do đó $SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$. Đặt đường sinh $l=SA$, ta có $h=SO=l\sin 30^{\circ }=\frac{l}{2}$, bán kính đáy $R=OA=l\cos 30^{\circ }=\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Từ hệ thức $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}$ giải ra được $h=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $R=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \frac{6a^2}{4}\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{4}$ (tương ứng đáp án D).


Chọn D.