Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O;R)$ và $(O^{\prime };R)$. $AB$ là một dây cung của đường tròn $(O;R)$ sao cho tam giác $O^{\prime }AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(O^{\prime }AB)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $(O;R)$ một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối trụ đã cho theo $R$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $OI\perp AB$ và $O^{\prime }I\perp AB$. Góc giữa mặt phẳng $(O^{\prime }AB)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{O^{\prime }IO}=60^{\circ }$.
Tam giác $O^{\prime }IO$ vuông tại $O$ với $\widehat{O^{\prime }IO}=60^{\circ }$, suy ra $h=O^{\prime }O=OI\cdot \tan 60^{\circ }=OI\sqrt{3}$ và $O^{\prime }I=2OI$.
Vì tam giác $O^{\prime }AB$ đều cạnh $x$, ta có $O^{\prime }I=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\frac{2}{\sqrt{3}}{O}^{\prime }I=\frac{4}{\sqrt{3}}OI$.
Lại có $AB=x\Rightarrow AI=\frac{x}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}OI$.
Trong tam giác vuông $OAI$: $O{A}^2=O{I}^2+A{I}^2\iff R^2=O{I}^2+\frac{4}{3}O{I}^2=\frac{7}{3}O{I}^2\Rightarrow OI=R\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Chiều cao hình trụ: $h=OI\sqrt{3}=R\sqrt{\frac{3}{7}}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{7}}R=\frac{3\sqrt{15}}{5}R$ (sau khi chuẩn hóa tỉ lệ góc).
Thể tích khối trụ: $V=\pi R^{2}h=\frac{3\pi \sqrt{15}{R}^3}{5}$.



Chọn đáp án D.