Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

Đoàn trường THPT Nguyễn Văn Chất tỉnh Phú Thọ tổ chức giải kéo co kỉ niệm 81 năm ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam (22/12/1944 - 22/12/2025). Dưới đây là hình ảnh trận kéo co giữa lớp 10A8 và 10A7. Một trận đấu rất gay cấn và hấp dẫn, rất nhiều cổ động viên là các thầy cô giáo và các bạn học sinh trong trường ra cổ vũ, trọng tài chính của trận đấu là thầy Mạnh. Tại thời điểm ảnh chụp giả sử lực kéo của hai lớp 10A8 và 10A7 lần lượt là $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Một con tàu đang di chuyển trên biển từ cảng $A$ đến cảng $B$ với vận tốc được biểu diễn bởi vectơ $\vec{u}=(10;12)$. Đồng thời trên biển có một cơn gió đang thổi với vận tốc được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v}=(8;-6)$. Góc giữa hướng di chuyển của con tàu và hướng gió là bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hai người đứng hai bên bờ kênh, cùng kéo một chiếc thuyền xuôi trên kênh. Người $A$ kéo với một lực bằng $60N$, người $B$ kéo với một lực bằng $80N$, hai lực hợp nhau một góc bằng $60^{\circ }$. Vậy hợp lực mà hai người đã tác động lên thuyền có độ lớn bằng bao nhiêu?

(5.0 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $5\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BC}$ và điểm $F$ thoả mãn $4\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{EB}+3\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Chứng minh ba điểm $A$, $E$, $F$ thẳng hàng và tính tỉ số $\frac{AE}{AF}$.
b. Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $AB=5$, $BC=6$, $CA=7$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $BC$, $M$ là điểm thoả mãn $\left|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $MN$.

(5.0 điểm)
a. Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$; $\hat{A}=60^0$ và $\frac{b-c}{a+c}=2\left(\cos B-1\right)$. Tính số đo góc $C$ của tam giác $ABC$.
b. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM=xAC$ $(0<x<1)$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $DC$. Tìm $x$ để tam giác $BMN$ vuông cân tại $M$.