Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích vô hướng và góc vectơ phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^{\circ }=6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=24$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác vuông tại A nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Ta có $|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}{|}^2=|\overrightarrow{AB}{|}^2+4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+4|\overrightarrow{AC}{|}^2=4+0+4=8$, suy ra độ dài bằng $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Theo định lý Parallelogram: $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2M{I}^2+\frac{5}{2}$ và $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}=M{I}^2-\frac{5}{4}$. Thay vào điều kiện $M{A}^2+M{B}^2=3\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$: $2M{I}^2+\frac{5}{2}=3M{I}^2-\frac{15}{4}\Rightarrow M{I}^2=\frac{25}{4}\Rightarrow MI=\frac{5}{2}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R=\frac{5}{2}$, với $a=5,b=2$ (tối giản), nên $a+5b=5+10=15$. Kết quả trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo định nghĩa góc giữa hai vectơ. b) Đúng vì ${\vec{a}}^2=\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2\ge 0$ và bằng 0 khi và chỉ khi $\vec{a}=\vec{0}$. c) Đúng: $BC=3MB\Rightarrow MB=\frac{1}{3}BC$, tức $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $\frac{MB}{BC}=\frac{1}{3}$, nên $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. d) Sai: tam giác đều cạnh $x$, trung tuyến $BM=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BM}$ bằng $30^{\circ }$, nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BM}=x\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3x^2}{4}\ne x^2$. Khớp đáp án mã đề 124: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia $OA$, $OB$, ký hiệu $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2\ge 0$ và ${\vec{a}}^2=0\iff |\vec{a}|=0\iff \vec{a}=\vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=3MB\Rightarrow MB=\frac{1}{3}BC$, do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BM=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, góc $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM}\right)=30^{\circ }$, nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BM}=x\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3x^2}{4}\ne x^2$.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(3;-5)$. Tích vô hướng: $(-3)(3)+(-1)(-5)=-9+5=-4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|\cos 120^{\circ }=5\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(10;-5)$, $\overrightarrow{BE}=(a-7;a-b+1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BE}=10(a-7)-5(a-b+1)=10a-70-5a+5b-5=5a+5b-75=2025$. Suy ra $5(a+b)=2100$, tức $a+b=420$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (tính chất hình bình hành, ở đây là hình vuông $ABCD$), ta có $P=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$. Trong hình vuông cạnh $a$: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$ (vì $\overrightarrow{AD}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AC}$ lên $\overrightarrow{AD}$, góc $CAD=45^{\circ }$: $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$) và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2$ (tương tự, góc $CAB=45^{\circ }$). Vậy $P=a^2-a^2=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

Giả sử $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=m;\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=2m$. Do vật đứng yên nên: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}\Rightarrow {\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)}^2={\left(-\overrightarrow{F_3}\right)}^2\Rightarrow {\overrightarrow{F_1}}^2+2\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}+{\overrightarrow{F_2}}^2={\left(-\overrightarrow{F_3}\right)}^2$ (0,25 đ)
$\Rightarrow m^2+2\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}+4m^2=4m^2\Rightarrow 2.m.2m\cos \left(\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2}\right)=-m^2\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2}\right)=-\frac{1}{4}\Rightarrow \left(\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2}\right)\approx 104,5^{\circ }$. (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 1+3\cdot 2=5+6=11$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ với $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=AD=BC=3$, góc $\widehat{BAD}=60°$ nên $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 3\cdot \cos 60°=3$.

Từ $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$, với $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\vec{v}$, ta có $\overrightarrow{AK}=-2(\overrightarrow{AK}-\vec{v})\Rightarrow 3\overrightarrow{AK}=2\vec{v}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\vec{v}$.

Suy ra $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\vec{u}=\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}\right)\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\frac{2}{3}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{2}{3}|\vec{v}{|}^2-|\vec{u}{|}^2-\vec{u}\cdot \vec{v}$$
$$=\frac{2}{3}(3)+\frac{2}{3}(9)-4-3=2+6-7=1.$$

Vậy $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, góc $B=50^{\circ }$ nên góc $C=40^{\circ }$. Xét từng hệ thức:
- A: Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: góc trong tại $B$ giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $50^{\circ }$, mà $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ nên góc bằng $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$. Đúng.
- B: Góc trong tại $C$ giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $40^{\circ }$; đổi dấu cả hai vectơ không đổi góc, nên $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=40^{\circ }$. Đúng.
- C: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. Đúng.
- D: Góc trong tại $C$ giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $40^{\circ }$, mà $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ nên $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$. Sai.
Vậy hệ thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}\iff (\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA})\cdot \overrightarrow{CB}=0\iff \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CB}=0$. Vậy $AM\perp BC$, tức tập hợp $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$. Đáp án B.

Ta có $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=2\cdot (2\sqrt{2})\cdot \cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4$.