Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định lý sin và bán kính ngoại tiếp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án B.

Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}\iff \sin A(\cos B+\cos C)=\sin B+\sin C$
$\iff \frac{a}{2R}\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b+c}{2R}\iff b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2b^{2}c+2c^{2}b$
$\iff b^3+c^3+b^{2}c+b{c}^2-a^{2}b-a^{2}c=0\iff (b+c)(b^2+c^2)-a^2(b+c)=0$
suy ra $b^2+c^2=a^2\iff △ABC$ vuông tại A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, do đó $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$ nên phát biểu B sai. Các phát biểu còn lại đều đúng: $S=\frac{abc}{4R}$ (hệ quả định lí sin), $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (công thức diện tích), $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (định lí cosin). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\sin 45^{\circ }}=\frac{12}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\approx 8,49$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 8,49.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$ với $A=\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $BC=a$. Suy ra $2R=\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$, nên $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), C đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$). Từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$ nên B đúng. Còn D: $b\sin B=\frac{b^2}{2R}\ne 2R$ nói chung, nên D là hệ thức sai. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: $\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{b}{\sin B}=2R\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{12}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{2\cdot \frac{1}{2}}=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC=8cm, B=45°, C=60° nên A=180°−45°−60°=75°. a) Định lí sin: BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R (không phải R), nên ý a) Sai. b) R = AC/(2sinB) = 8/(2·√2/2) = 4√2 cm → Đúng. c) BC = AC·sinA/sinB = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4 ÷ (√2/2) = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm ≠ 10,92 cm → Sai. d) S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 8√3(√3+1) = 24+8√3 cm² → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin cho BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải = R, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2sinB) = 8/(2·sin45°) = 8/√2 = 4√2 cm, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
A = 75°; BC = 8·sin75°/sin45° = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm, không phải 10,92 cm, nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 24+8√3 cm², đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), B đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), D đúng (từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$). Còn C sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Tam giác ABC có $A=30^0$, $B=120^0$, $b=8$.

Trước hết, $C=180^0-A-B=180^0-30^0-120^0=30^0$.

a) Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

$\frac{a}{\sin 30^0}=\frac{8}{\sin 120^0}\Rightarrow a=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Vì $C=A=30^0$ nên tam giác cân tại $B$, suy ra $c=a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

c) Diện tích: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{64}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $a=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $S=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.