Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (tính chất hình bình hành, ở đây là hình vuông $ABCD$), ta có $P=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$. Trong hình vuông cạnh $a$: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$ (vì $\overrightarrow{AD}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AC}$ lên $\overrightarrow{AD}$, góc $CAD=45^{\circ }$: $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$) và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2$ (tương tự, góc $CAB=45^{\circ }$). Vậy $P=a^2-a^2=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.