Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $54$ và độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }=9$. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho.

Gọi độ dài cạnh hai đáy lần lượt là $x,y$ ($x,y>0$), ta có $x^2+y^2=54$.
Trong hình thang cân $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, đường cao $h$ của khối chóp cụt thỏa mãn:
$h^2=A{C}^{\prime 2}-{\left(\frac{AC+A^{\prime }{C}^{\prime }}{2}\right)}^2=9^2-{\left(\frac{\sqrt{2}(x+y)}{2}\right)}^2=81-\frac{1}{2}(x^2+y^2+2xy)=54-xy$.
Đặt $t=xy\in (0;27]$. Thể tích khối chóp cụt là:
$V(t)=\frac{1}{3}\sqrt{54-t}(54+t)$.
Xét $f(t)=(54-t)(54+t{)}^2$ trên $(0;27]$, ta có $f^{\prime }(t)=(54+t)(54-3t)=0\iff t=18$.
Hàm số $V(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=18$, khi đó $V_{\max }=\frac{1}{3}\sqrt{54-18}\cdot (54+18)=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 72=144$. Đáp số: 144.