Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA=a$, $SB=2a$, $SC=3a$ và $\widehat{ASB}=60^{\circ }$, $\widehat{BSC}=90^{\circ }$, $\widehat{CSA}=120^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

Lấy các điểm $B^{\prime }\in SB,C^{\prime }\in SC$ sao cho $SA=S{B}^{\prime }=S{C}^{\prime }=a$. Áp dụng định lý côsin và pitago trong các tam giác $SA{B}^{\prime },S{B}^{\prime }{C}^{\prime },S{C}^{\prime }A$:
- $A{B}^{\prime 2}=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=a^2\Rightarrow A{B}^{\prime }=a$.
- $B^{\prime }{C}^{\prime 2}=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }=a\sqrt{2}$.
- $A{C}^{\prime 2}=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2\Rightarrow A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$.
Nhận thấy $A{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{C}^{\prime 2}=a^2+2a^2=3a^2=A{C}^{\prime 2}$ nên tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $B^{\prime }$. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là trung điểm $H$ của $A{C}^{\prime }$, với bán kính $R=\frac{A{C}^{\prime }}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $SA=S{B}^{\prime }=S{C}^{\prime }=a$ nên hình chiếu của $S$ lên $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $H$. Chiều cao $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}$. Thể tích khối chóp $S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}SH\cdot S_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}$. Tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}\cdot \frac{S{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{S{C}^{\prime }}{SC}=1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V_{S.ABC}=6\cdot V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=6\cdot \frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{2}$. Chọn D.