Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang cân $AB\parallel CD$, $AB<CD$ có hai đường chéo $AC,BD$ vuông góc và cắt nhau tại $O$, $AB=2a\sqrt{2}=\frac{1}{2}CD$. Biết $SO$ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ vuông góc với nhau. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Vì đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AB\parallel CD$ và $AC\perp BD$ tại $O$, nên các tam giác $OAB$ và $OCD$ vuông cân tại $O$. Ta có $AB=2a\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=2a$, và $CD=4a\sqrt{2}\Rightarrow OC=OD=4a$. Độ dài các đường chéo: $AC=BD=OA+OC=2a+4a=6a$. Do $AC\perp BD$, diện tích đáy là $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}(6a{)}^2=18a^2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Ta có $OM\perp AB,ON\perp CD$, và $M,O,N$ thẳng hàng. Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O\Rightarrow OM=\frac{AB}{2}=a\sqrt{2}$; tam giác $OCD$ vuông cân tại $O\Rightarrow ON=\frac{CD}{2}=2a\sqrt{2}$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SM\perp AB$ và $SN\perp CD$. Khi đó góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$ là góc giữa $SM$ và $SN$. Vì $(SAB)\perp (SCD)$ nên tam giác $SMN$ vuông tại $S$. Ta có $SO$ là đường cao của tam giác vuông $SMN$, suy ra $S{O}^2=OM\cdot ON=(a\sqrt{2})(2a\sqrt{2})=4a^2\Rightarrow SO=2a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}(18a^2)(2a)=12a^3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn B.