Cho khối nón tròn xoay đỉnh $S$, đáy là đường tròn tâm $O$, góc ở đỉnh bằng $120^{\circ }$. Mặt phẳng $(Q)$ thay đổi, đi qua $S$ và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác $SAB$. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác $SAB$ là $2a^2$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(Q)$ trong trường hợp diện tích tam giác $SAB$ đạt giá trị lớn nhất là

**Chọn A**

Gọi đường sinh của hình nón là l .

S ΔSAB =

1
1
1
SA.SB.sin ( ASB ) = l 2 .sin ( ASB ) ≤ l 2
2
2
2

1
⇒ ( S ΔSAB )max = l 2 .
2
Dấu " = " xảy ra khi sin ( ASB ) = 1 ⇔ ·
ASB = 90° ⇔ ΔSAB vuông cân ở S .

1
1
Do đó S ΔSAB = l 2 ⇔ 2a 2 = l 2 ⇒ l = 2a.
2
2
Tam giác SAB vuông cân ở S ⇒ AB = SA. 2 = 2a 2

· = 60° .
Góc ở đỉnh của hình nón là 120° ⇒ OSA

a 6
.
2

Xét ΔSOA vuông ở O :

SO = SA.cos 60° = a
.

AO = SA sin 60° = a 3
Kẻ OM ⊥ AB ở M . Kẻ OH ⊥ SM ở H .
Ta có: AB ⊥ OM ; AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ ( SOM ) ⇒ AB ⊥ OH .
Mà OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ ( SAB ) tại H ⇒ d ( O; ( Q ) ) = d ( O; ( SAB ) ) = OH .
Ta có AM = MB = a 2.
Xét ΔOAM vuông ở M ⇒ OM = OA2 - AM 2 = a.
Xét ΔSOM vuông ở O có OM = SO = a nên ΔSOM vuông cân ở O.
Mà OH là đường cao của tam giác SOM ⇒ OH =

a 2
a 2
.
⇒ d ( O; ( Q ) ) =
2
2