Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có mặt đáy là tam giác đều có cạnh bằng $2a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Chọn D.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$, $GM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vì $BC\perp AM$ và $BC\perp A^{\prime }G$ nên $BC\perp (A^{\prime }AM)$.
Kẻ $MK\perp A{A}^{\prime }$ tại $K$, suy ra $MK\perp BC$, do đó $d(A{A}^{\prime },BC)=MK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong mặt phẳng $(A^{\prime }AM)$, kẻ $AH\perp A{A}^{\prime }$ hoặc dùng diện tích tam giác $A^{\prime }AM$:
$$S_{\Delta A^{\prime }AM}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }G\cdot AM=\frac{1}{2}h\cdot a\sqrt{3}.$$
Đồng thời:
$$S_{\Delta A^{\prime }AM}=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }\cdot MK=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+A{G}^2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Suy ra:
$$h\cdot a\sqrt{3}=\sqrt{h^2+\frac{4a^2}{3}}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\iff 2h=\sqrt{h^2+\frac{4a^2}{3}}\iff 4h^2=h^2+\frac{4a^2}{3}\iff h=\frac{2a}{3}.$$
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$$V=S_{ABC}\cdot h=a^2\sqrt{3}\cdot \frac{2a}{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$$