Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tạo với mặt đáy góc $45^{\circ }$. Thể tích lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Chọn C
Diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $A^{\prime }M\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AM\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Góc giữa $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là góc $\widehat{AM{A}^{\prime }}=45^{\circ }$.
Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh 2 nên $A^{\prime }M=\sqrt{3}$.
Vì $\Delta A{A}^{\prime }M$ vuông tại $A^{\prime }$ có $\widehat{AM{A}^{\prime }}=45^{\circ }$ nên $A{A}^{\prime }=A^{\prime }M=\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{\Delta ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$.