Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Tính góc giữa $A{C}^{\prime }$ và mặt bên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Diện tích đáy tam giác đều cạnh $a$ là $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Chiều cao lăng trụ $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $AB\perp B{B}^{\prime }$, mà $AB\perp BC$ nên $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ trên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $B{C}^{\prime }$, do đó góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\widehat{A{C}^{\prime }B}$.
Tam giác $A{C}^{\prime }B$ có: $AB=a$; $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{C}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$; $B{C}^{\prime }=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B{C}^2}=a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lí cosin: $\cos \widehat{A{C}^{\prime }B}=\frac{A{C}^{\prime 2}+B{C}^{\prime 2}-A{B}^2}{2\cdot A{C}^{\prime }\cdot B{C}^{\prime }}=\frac{3a^2+3a^2-a^2}{2\cdot 3a^2}=\frac{5}{6}$.
Vậy góc cần tìm bằng $\arccos \frac{5}{6}\approx 33,6^{\circ }$.