Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A{A}^{\prime }=2,AB=1,AC=2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MB$ và $AN$ bằng

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $A(0;0;0)$, tia $Ax$ chứa $B(1;0;0)$, tia $Ay$ chứa $C(0;2;0)$, tia $Az$ chứa $A^{\prime }(0;0;2)$.
Khi đó $M(0;0;1)$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$; $C^{\prime }(0;2;2)\Rightarrow N(0;2;1)$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$.
Ta có $\overrightarrow{MB}=(1;0;-1)$, $\overrightarrow{AN}=(0;2;1)$, $\overrightarrow{AM}=(0;0;1)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AN}]=(2;-1;2)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $MB$ và $AN$ là:
$d(MB,AN)=\frac{|[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AN}]\cdot \overrightarrow{AM}|}{|[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AN}]|}=\frac{|2\cdot 0-1\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn A.