Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=1$, tang của góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng $2$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Giả sử cạnh đáy của lăng trụ bằng $x$ ($x>0$).

Ta có $DA\perp AB$ và $DA\perp A{A}^{\prime }$ nên $DA\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Giao tuyến của $(A^{\prime }BD)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $A^{\prime }B$.

Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $A^{\prime }B$. Khi đó $A^{\prime }B\perp (DAI)\Rightarrow A^{\prime }B\perp AI$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là góc giữa $DI$ và $AI$, tức là $\widehat{DIA}=\alpha$.

Theo giả thiết $\tan \alpha =2\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Tam giác $DAI$ vuông tại $A$ nên $\sin \alpha =\frac{DA}{DI}=\frac{x}{DI}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow DI=\frac{x\sqrt{5}}{2}$.

Xét tam giác $A^{\prime }BD$ có $A^{\prime }B=\sqrt{x^2+1},A^{\prime }D=\sqrt{x^2+1},BD=x\sqrt{2}$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, ta có $A^{\prime }O=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{O}^2}=\sqrt{1+\frac{x^2}{2}}=\sqrt{\frac{x^2+2}{2}}$.

Diện tích tam giác $A^{\prime }BD$ tính theo 2 cách:
$S=\frac{1}{2}{A}^{\prime }O\cdot BD=\frac{1}{2}DI\cdot A^{\prime }B\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2+2}{2}}\cdot x\sqrt{2}=DI\cdot \sqrt{x^2+1}$
$\Rightarrow DI=\frac{x\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+1}}.$

Từ đó:
$\frac{x\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x\sqrt{5}}{2}\iff \frac{x^2+2}{x^2+1}=\frac{5}{4}\iff 4(x^2+2)=5(x^2+1)\iff x^2=3.$

Diện tích đáy $S_{ABCD}=x^2=3$.

Thể tích khối lăng trụ: $V=A{A}^{\prime }\cdot S_{ABCD}=1\cdot 3=3$.