Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta ):x+2y+3z+4=0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x+3y+z-7=0$, $(Q):x-y+z+1=0$. Khi đó $d$ bằng

Vectơ pháp tuyến của $(\beta ),(P),(Q)$ lần lượt là $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;2;3),\overrightarrow{n_P}=(1;3;1),\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;1)$.

Vectơ chỉ phương của giao tuyến $\Delta =(P)\cap (Q)$ là:
$\overrightarrow{u_{\Delta }}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}]=(3\cdot 1-1\cdot (-1);1\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot (-1)-3\cdot 1)=(4;0;-4)=4(1;0;-1).$

Vì $(\alpha )$ chứa $\Delta$ và $(\alpha )\perp (\beta )$ nên vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ cùng phương với:
$[\overrightarrow{n_{\beta }},(1;0;-1)]=(2(-1)-3\cdot 0;3\cdot 1-1(-1);1\cdot 0-2\cdot 1)=(-2;4;-2)=-2(1;-2;1).$
Do hệ số của $x$ trong phương trình $(\alpha )$ là $1$ nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-2;1)$, tức là $b=-2,c=1$.

Tìm một điểm thuộc giao tuyến $\Delta$: cho $x=0$ trong hệ $\{\begin{array}{l}3y+z=7\\ -y+z=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=2\\ z=1\end{array}\Rightarrow A(0;2;1)\in \Delta$.

Vì $A\in (\alpha )$ nên: $0-2(2)+1+d=0\iff -3+d=0\iff d=3$.