Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ (m)}$ như hình vẽ bên. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Gọi tâm hình vuông ban đầu là $O$, đỉnh góc vuông ban đầu là $S_1$. Khoảng cách từ tâm đến đỉnh hình vuông ban đầu là $S_{1}O=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Khi gập thành hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $x$ ($0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}$), gọi $M$ là trung điểm một cạnh đáy, ta có $OM=\frac{x}{2}$.
Độ dài trung đoạn của mặt bên là $S_{1}M=S_{1}O-OM=\frac{\sqrt{2}-x}{2}$.
Khi gập lại thành đỉnh chóp $S$, chiều cao $SO$ của khối chóp là:
$SO=\sqrt{S{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}-x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2-2\sqrt{2}x}{4}}=\frac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{x}^2\frac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}=\frac{1}{6}\sqrt{2x^4-2\sqrt{2}{x}^5}$.
Xét hàm số $f(x)=2x^4-2\sqrt{2}{x}^5$ trên $\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$:
$f^{\prime }(x)=8x^3-10\sqrt{2}{x}^4=2x^3(4-5\sqrt{2}x)=0\iff x=\frac{4}{5\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.
Lập bảng biến thiên ta thấy $f(x)$ đạt cực đại tại $x=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.
Vậy khối chóp có thể tích lớn nhất khi $x=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.