Cho phương trình ${\log }_{\sqrt{2}}(mx-6x^3)+2{\log }_{\frac{1}{2}}(-14x^2+29x-2)=0$ ($m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt?

Phương trình tương đương $\{\begin{array}{l}-14x^2+29x-2>0\\ mx-6x^3=-14x^2+29x-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in \left(\frac{1}{14};2\right)\\ m=6x^2-14x+29-\frac{2}{x}=g(x)\end{array}$. Khảo sát hàm số $g(x)=6x^2-14x+29-\frac{2}{x}$ trên khoảng $\left(\frac{1}{14};2\right)$: $g^{\prime }(x)=\frac{12x^3-14x^2+2}{x^2}=0\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$ (do $x>\frac{1}{14}$). Ta có $g\left(\frac{1}{2}\right)=19,5$ và $g(1)=19$, nên phương trình có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $19<m<19,5$. Vậy không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn. Chọn C.