Cho phương trình ${\log }_2(2x^2-4x+6)=2^{y^2}+y^2-x^2+2x-2$. Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ với $-10<x<10,y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình đã cho?

Phương trình tương đương với ${\log }_2(x^2-2x+3)+(x^2-2x+3)=2^{y^2}+y^2$. Xét hàm $g(t)=2^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra ${\log }_2(x^2-2x+3)=y^2\iff (x-1{)}^2+2=2^{y^2}$. Vì $-10<x<10$ nên $2\le (x-1{)}^2+2<123\Rightarrow 2\le 2^{y^2}<123$. Vì $y\in \mathbb{N}$ nên $y\in \{1;2\}$. Với $y=1$ có $1$ nghiệm $x=1$; với $y=2$ có $2$ nghiệm $x=1\pm \sqrt{14}\in (-10;10)$. Vậy có $3$ cặp $(x;y)$ thỏa mãn.