Cho phương trình lượng giác $2\sin x=\sqrt{2}$ (1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
a) Đúng: $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) Đúng: họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$).
c) Sai: với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) Đúng: trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 112, Phần II Câu 2: A Đúng, B Đúng, C Sai, D Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ suy ra $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (khi $k=0$), nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta có $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên họ $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ không phải họ nghiệm của phương trình; họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, nên khẳng định đúng.