Cho phương trình $\log [(m+1)x]-2\log (x+2)=0$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in [-6;9]$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất?

Ta có $\log [(m+1)x]-2\log (x+2)=0\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ (m+1)x=(x+2{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ x^2+(3-m)x+4=0(\ast )\end{array}$.
- Trường hợp 1: Phương trình $(\ast )$ có nghiệm kép lớn hơn $-2$: $\Delta =(3-m{)}^2-16=0\iff m=7$ (khi đó $x=2>-2$, nhận) hoặc $m=-1$ (khi đó $x=-2$, loại).
- Trường hợp 2: Phương trình $(\ast )$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1<-2<x_2\iff 1\cdot f(-2)<0\iff 4-2(3-m)+4<0\iff 2m+2<0\iff m<-1$.
Kết hợp $m\in [-6;9],m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-6;-5;-4;-3;-2;7\}$. Vậy có $6$ giá trị nguyên của $m$.