Cho số nguyên m và hai tập hợp:

$$X=\{x\in \mathbb{Z}\mid x^2-2mx+2m-1=0\};Y=\{x\in \mathbb{Z}\mid \left(x^3+1\right)\left(2x^2-3x+1\right)=0\}$$

Tìm m để $X=Y$?

(AI giải đề cho tôi)
Tìm Y trước: $(x^3+1)(2x^2-3x+1)=0\iff x^3+1=0$ hoặc $2x^2-3x+1=0$. Từ $x^3+1=0\Rightarrow x=-1$. Từ $2x^2-3x+1=0\iff (2x-1)(x-1)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $Y=\{-1;1\}$.

Xét $X$: phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ có tổng hai nghiệm bằng $2m$ và tích hai nghiệm bằng $2m-1$. Thử $x=1$: $1-2m+2m-1=0$ luôn đúng, nên $x=1$ luôn là nghiệm với mọi $m$. Gọi nghiệm còn lại là $x_2$, theo định lý Vi-ét: $1\cdot x_2=2m-1\Rightarrow x_2=2m-1$.

Để $X=Y=\{-1;1\}$ thì nghiệm còn lại phải bằng $-1$: $2m-1=-1\iff m=0$.

Thử lại với $m=0$: phương trình trở thành $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$, tức $X=\{-1;1\}=Y$. Vậy $m=0$.