Cho số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|{\bar{z}}_1-1+3i|=|z_1+3+5i|$ và $|z_2+2+8i|=2\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z_1-3+i|+|z_1+3+4i|+|z_1-z_2|$?

Đặt $z_1=x+yi$, điều kiện $|(x-1)-(y-3)i|=|(x+3)+(y+5)i|⟺(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=(x+3{)}^2+(y+5{)}^2⟺x+2y+3=0$ (đường thẳng $\Delta$). Điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z_1$ thuộc $\Delta$, điểm $N$ biểu diễn $z_2$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-8)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$. Hai điểm $A(3;-1)$ và $B(-3;-4)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Gọi $A^{\prime }(1;-5)$ là điểm đối xứng với $A(3;-1)$ qua $\Delta$, ta có $MA=M{A}^{\prime }$ và $B(-3;-4),I(-2;-8)$. Khi đó $T=M{A}^{\prime }+MB+MN\ge A^{\prime }B+MI-R\ge 4\sqrt{5}$.