Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm $A(0;-1;-1)$, $B(-2;-1;5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ $M$ tới đường thẳng $d$?

Từ $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$, $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ có tâm $I(-1;-1;2)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{10}$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=3$, nên $M$ thuộc đường tròn $(C)=(S)\cap (P)$ có tâm $H(1;1;1)$ và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}=1$. Vì $d\parallel (P)$ và khoảng cách từ $d$ đến $(P)$ bằng $2$, đồng thời khoảng cách từ $H$ đến hình chiếu của $d$ trên $(P)$ bằng $3$, nên khoảng cách lớn nhất từ $M\in (C)$ đến $d$ là $\sqrt{(3+r{)}^2+2^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.