Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{z-2-4i}$ là số thuần ảo, biết biểu thức $P=|z+4-6i{|}^2-|z-2-3i{|}^2$ đạt giá trị lớn nhất khi $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Giá trị $a+2b$ bằng

Chọn D.
Ta có $\frac{z}{z-2-4i}=\frac{(a+bi)(a-2-(b-4)i)}{(a-2{)}^2+(b-4{)}^2}$ là số thuần ảo suy ra $a(a-2)+b(b-4)=0\iff (a-1{)}^2+(b-2{)}^2=5$ (với $(a;b)\ne (2;4)$).
Suy ra điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
Gọi $M,N,P$ lần lượt là ba điểm biểu diễn số phức $z,-4+6i,2+3i$.
Suy ra $N(-4;6),P(2;3)\Rightarrow IN=\sqrt{41},IP=\sqrt{2},PN=\sqrt{45}$.
Khi đó ta có $P=M{N}^2-M{P}^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN}{)}^2-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IP}{)}^2=I{N}^2-I{P}^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IP})=39+2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{PN}\le 39+2MI\cdot PN$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{PN}$ cùng hướng suy ra $\overrightarrow{MI}=k(-2;1),k>0$.
Ta có $\{\begin{array}{l}1-x=-2k\\ 2-y=k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1+2k\\ y=2-k\end{array}$.
Thay vào phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5\Rightarrow 5k^2=5\Rightarrow k=1$ (vì $k>0$).
Do đó $M(3;1)$ suy ra $z=3+i\Rightarrow a+2b=5$.