Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-\bar{z}|+|z+\bar{z}|\le 6$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z-2+3i{|}^2+|z+4-13i{|}^2$ bằng

Chọn A.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-\bar{z}|+|z+\bar{z}|\le 6\iff |2yi|+|2x|\le 6\iff |x|+|y|\le 3$.
Tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là miền hình vuông giới hạn bởi các đỉnh $(\pm 3;0),(0;\pm 3)$.
Gọi $A(2;-3)$ và $B(-4;13)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$: $I(-1;5)$.
$P=M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$.
$P$ nhỏ nhất khi khoảng cách $MI$ từ $I(-1;5)$ đến hình vuông nhỏ nhất. Khoảng cách này đạt tại điểm $(0;3)$ trên biên hình vuông.
Tính toán giá trị nhỏ nhất của $P$ ta được $P_{\min }=156$.