Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $\ln \frac{x+1}{5y+1}\le 25y^4+10y^3-x^2{y}^2-2y^{2}x$, với $y\le 2022$?

Chọn B.
Chia hai vế bất phương trình cho $y^2>0$ và đặt ẩn phụ thích hợp để đưa về hàm đặc trưng:
$\ln (x+1)+(x+1{)}^2\le \ln (5y+1)+(5y+1{)}^2$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t+t^2$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x+1\le 5y+1\iff x\le 5y$.
Vì $x$ nguyên dương nên với mỗi $y\in \{1,2,\dots ,2022\}$, có $5y$ giá trị của $x$.
Tổng số cặp là ${\sum }_{y=1}^{2022}5y=5\cdot \frac{2022\cdot 2023}{2}=5\cdot 1011\cdot 2023=10226265$ cặp.