Cho tam giác ABC. Các điểm D; E nằm trên cạnh BC; F là điểm nằm trên tia đối của tia CB biết rằng BD = DE = EC = CF. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB};\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.
Biểu thị các véc tơ $\overrightarrow{BD}$; $\overrightarrow{BE}$; $\overrightarrow{BF}$; $\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{AE}$; $\overrightarrow{AF}$ theo các véc tơ $\vec{a};\vec{b}$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$. Do $BD=DE=EC$ nên $D,E$ chia $BC$ thành 3 phần bằng nhau, và $F$ nằm trên tia đối của tia $CB$ với $CF=\frac{1}{3}BC$ (nghĩa là $F$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía sau $C$).

1) $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

2) $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

3) $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=(\vec{b}-\vec{a})+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{4}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

4) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$.

5) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$.

6) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\frac{4}{3}(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{4}{3}\vec{b}$.

Kiểm tra: với $\vec{a}=\vec{0}$ (tâm $B$), các vectơ đều tỉ lệ với $\vec{b}$ theo hệ số $\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}$ — đúng theo vị trí điểm trên đường thẳng $BC$.