Cho tam giác ABC có A(1;2), B(4;5), C(7;4).

a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

b) Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác ABC.

ĐÁP SỐ:

a) Gọi D(x;y). Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;3);\overrightarrow{DC}=(7-x;4-y)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}3=7-x\\ 3=4-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$

Vậy D(4; 1) thì ABCD là hình bình hành.

b) Gọi H(x;y). Ta có
$\overrightarrow{AH}=(x-1;y-2);\overrightarrow{BC}=(3;-1)$
$\overrightarrow{BH}=(x-4;y-5);\overrightarrow{AC}=(6;2)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3.(x-1)-1.(y-2)=0\\ 6.(x-4)+2.(y-5)=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 3x+y=17\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}$

Vậy H(3;8) là trực tâm của tam giác ABC.