Cho tam giác $ABC$ có $AB=4cm$, $AC=5cm$, $A=60^{\circ }$. Gọi $I\in AC$ sao cho $AI=3cm$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=16+25-20=21\Rightarrow BC=\sqrt{21}\approx 4,58<5=AC$, nên a) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{7}$, diện tích $=\pi R^2=7\pi c{m}^2$, nên b) đúng. Tam giác $ABI$ có $AI=3,AB=4,\widehat{BAI}=60^{\circ }\Rightarrow B{I}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=13\Rightarrow BI=\sqrt{13}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{BI}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$, chu vi $=2\pi R=\frac{2\sqrt{39}\pi }{3}cm\ne \frac{\sqrt{39}\pi }{3}cm$, nên c) sai. Theo định lí sin: $\frac{\sin B}{AC}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin B=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=21\Rightarrow BC=\sqrt{21}\approx 4,58<5=AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{7}\Rightarrow S=\pi R^2=7\pi c{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BI=\sqrt{13}$, $R=\frac{\sqrt{13}}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{39}}{3}$, chu vi $=\frac{2\sqrt{39}\pi }{3}cm$, khác $\frac{\sqrt{39}\pi }{3}cm$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$.