Cho tam giác $ABC$ có $AB=a$, $AC=2a$ và biết tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2$. Gọi $J$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ thỏa: $4AJ=3AC$; $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ thỏa: $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}$ $\left(0<x<1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{a^2}{a\cdot 2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^{\circ }$: đúng.
b) $AJ=\frac{3}{4}\cdot 2a=\frac{3a}{2}$; $B{J}^2=a^2+\frac{9a^2}{4}-2\cdot a\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7a^2}{4}\Rightarrow BJ=\frac{a\sqrt{7}}{2}$: đúng.
c) Với $x=\frac{1}{2}$: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\ne \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$: sai.
d) Chọn $A$ làm gốc: $\overrightarrow{AI}=(1-x)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Suy ra $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}=(2-x)\overrightarrow{AB}+(x-\frac{3}{2})\overrightarrow{AC}$. Với $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$: $|\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}{|}^2=a^2\left[(2-x{)}^2+4(x-\frac{3}{2}{)}^2+2(2-x)(x-\frac{3}{2})\right]=a^2(3x^2-9x+7)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}\notin (0;1)$, và trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến nên độ dài nhỏ nhất khi $x\to 1$, không phải $x=\frac{2}{3}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AJ=\frac{3a}{2}$, $B{J}^2=a^2+\frac{9a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}=\frac{7a^2}{4}\Rightarrow BJ=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BJ}{|}^2=a^2(3x^2-9x+7)$ đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}\notin (0;1)$; trên $(0;1)$ hàm nghịch biến nên không đạt nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{3}$.