Cho tam giác $ABC$ không cân có $D$, $E$ tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $\widehat{BAC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $AC$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $AB$ và $DF$ cắt nhau tại $I$. Gọi $J$ là giao điểm của $AE$ và $DF$; $S$ là giao điểm của $AD$ và $EF$; $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABF$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A$, $B$, $D$, $J$ cùng thuộc một đường tròn và $CI$ vuông góc với $SQ$.
b) Giả sử $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng ba điểm $C$, $I$, $X$ thẳng hàng.

a) Vì $AD,AE$ là cặp phân giác trong, ngoài $△ABC$ nên $AD\perp AE$.
$AEDF$ nội tiếp nên $\angle EFD=\angle EAD=90^{\circ }$ hay $EF\perp DJ$.
Do đó $S$ là trực tâm $△JED$, nên $JB$ là đường cao $△JED$.
$\Rightarrow ABDJ$ nội tiếp.
Gọi $O$ là tâm $JED$, để ý $Q,S$ là tâm Euler và trực tâm $△JED$ nên $O,Q,S$ thẳng hàng.
Ta có:
$${\mathcal{P}}_{C/(O)}=CD\cdot CE=CF\cdot CA={\mathcal{P}}_{C/(Q)}\text{(AFDE nội tieˆˊp)}$$
tương tự:
$${\mathcal{P}}_{I/(O)}=ID\cdot IJ=IB\cdot IA={\mathcal{P}}_{I/(Q)}\text{(ABDJ nội tieˆˊp)}$$
Từ đó, $C,I$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn $(O),(Q)$ nên $CI\perp OQ$
hay $CI\perp SQ$ (vì $O,Q,S$ thẳng hàng).

b) Tương tự câu a), ta có:
$${\mathcal{P}}_{X/(O)}=XE\cdot XJ=XB\cdot XF={\mathcal{P}}_{X/(Q)}\text{(EBFJ nội tieˆˊp)}$$
nên $X$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn $(O),(Q)$.
Suy ra $C,I,X$ thẳng hàng.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Bình luận: Bài toán trên thật ra là mô hình trục tâm kết hợp kiến thức về phương tích, trục đẳng phương.