Chứng minh rằng, có thể sắp tất cả các tập con của tập $S=\{1;2;3;\cdots ;2027\}$ thành một dãy sao cho mỗi cặp gồm hai tập con kề nhau bất kỳ chỉ sai khác đúng một phần tử (tức là một tập thu được từ tập kia bằng cách thêm hoặc bớt một phần tử nào đó).

Với $S_n=\{1;2;\dots ;n\}$, có thể sắp xếp tất cả $2^n$ tập con của $S_n$ thành một dãy $A_1,A_2,\dots ,A_{2^n}$ sao cho hai tập kề nhau bất kỳ chỉ khác nhau đúng một phần tử.
Với $n=1$: các tập con của $\{1\}$ là $\varnothing$ và $\{1\}$. Dãy $\varnothing ,\{1\}$ thỏa mãn vì hai tập kề nhau khác nhau đúng phần tử 1. Vậy $P(1)$ đúng.
Giả sử $P(k)$ đúng, tức là có dãy
$$A_1,A_2,\dots ,A_{2^k}$$
gồm tất cả tập con của $S_k$, hai tập kề nhau khác nhau đúng một phần tử. Xét $S_{k+1}=S_k\cup \{k+1\}$. Mỗi tập con của $S_{k+1}$ thuộc đúng một trong hai loại:
• loại 1: không chứa $k+1$, tức là các tập $A_i$;
• loại 2: chứa $k+1$, tức là các tập $A_i\cup \{k+1\}$.
Ta lập dãy gồm $2^{k+1}$ tập như sau:
$$A_1,A_2,\dots ,A_{2^k},A_{2^k}\cup \{k+1\},A_{2^k-1}\cup \{k+1\},\dots ,A_1\cup \{k+1\}.$$
Nửa đầu liệt kê mọi tập loại 1, nửa sau liệt kê mọi tập loại 2 (theo thứ tự ngược), mỗi tập một lần.
• Trong nửa đầu: $A_i$ và $A_{i+1}$ khác nhau đúng một phần tử theo giả thiết quy nạp.
• Ở chỗ nối giữa hai nửa: hai tập kề nhau là $A_{2^k}$ và $A_{2^k}\cup \{k+1\}$. Chúng khác nhau đúng phần tử $k+1$.
• Trong nửa sau: hai tập kề nhau là $A_{i+1}\cup \{k+1\}$ và $A_i\cup \{k+1\}$. Cả hai đều chứa $k+1$, nên sự khác nhau giữa chúng chính là sự khác nhau giữa $A_{i+1}$ và $A_i$, tức là đúng một phần tử.
Vậy $P(k+1)$ đúng.
Theo nguyên lý quy nạp, $P(n)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Với $n=2027$, ta có thể sắp xếp tất cả các tập con của $S=\{1;2;\dots ;2027\}$ thành một dãy sao cho hai tập kề nhau bất kỳ chỉ khác nhau đúng một phần tử.