Cho tam giác $ABC$, không vuông, với hai đường cao $BE$, $CF$. Xét $X$ thay đổi trên đường thẳng $BE$ và $Y$ thay đổi trên đường thẳng $CF$ sao cho $\widehat{XAY}=90°$. Gọi $Z$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $XY$. Chứng minh rằng khi $X$, $Y$ thay đổi, nhưng $\widehat{XAY}=90°$, $Z$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Bài 2.

Nhận xét mở đầu: Vì $BE\perp AC$ nên $\widehat{AEX}=90^{\circ }$ (với $E\in AC$, $X\in BE$). Vì $CF\perp AB$ nên $\widehat{AFY}=90^{\circ }$ (với $F\in AB$, $Y\in CF$). Mặt khác $Z$ là hình chiếu của $A$ trên $XY$ nên $AZ\perp XY$, tức $\widehat{AZX}=\widehat{AZY}=90^{\circ }$.

Bước 1: Các tứ giác nội tiếp.
- Tứ giác $AZEX$ có $\widehat{AZX}=\widehat{AEX}=90^{\circ }$ nên nội tiếp (đường tròn đường kính $AX$).
- Tứ giác $AZYF$ có $\widehat{AZY}=\widehat{AFY}=90^{\circ }$ nên nội tiếp (đường tròn đường kính $AY$).

Bước 2: Tính góc $\widehat{EZF}$ theo góc $A$ của tam giác (dùng góc định hướng, mod $180^{\circ }$, nên đúng với mọi vị trí của $X$ trên đường thẳng $BE$ và $Y$ trên đường thẳng $CF$).

Trong đường tròn $(AZEX)$: $(ZE,ZX)=(AE,AX)$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EX$).
Trong đường tròn $(AZYF)$: $(ZY,ZF)=(AY,AF)$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $YF$).

Vì $Z$ nằm trên $XY$ nên $(ZX,ZY)=0$ (hai tia đối nhau, góc định hướng bằng $0$ mod $180^{\circ }$). Do đó:
$$(ZE,ZF)=(ZE,ZX)+(ZX,ZY)+(ZY,ZF)=(AE,AX)+(AY,AF).$$
Mà $(AY,AF)=(AY,AX)+(AX,AF)=-90^{\circ }+(AX,AF)$ (vì $\widehat{XAY}=90^{\circ }$), nên:
$$(ZE,ZF)=(AE,AX)+(AX,AF)-90^{\circ }=(AE,AF)-90^{\circ }=\widehat{BAC}-90^{\circ }(\mathrm{mod}180^{\circ }).$$

Vậy $\widehat{EZF}$ luôn không đổi (bằng $90^{\circ }-A$ hoặc $90^{\circ }+A$ tùy phía, tức luôn bằng $A-90^{\circ }$ mod $180^{\circ }$) khi $X,Y$ thay đổi với điều kiện $\widehat{XAY}=90^{\circ }$.

Bước 3: Kết luận. Vì $E,F$ cố định và $\widehat{EZF}$ không đổi, nên $Z$ luôn thuộc một cung cố định của đường tròn đi qua $E,F$ sao cho dây $EF$ được nhìn dưới góc không đổi $\widehat{EZF}\equiv \widehat{BAC}-90^{\circ }(\mathrm{mod}180^{\circ })$.

Ta chỉ rõ đường tròn đó: vì $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^{\circ }$ nên $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$. Trên đường tròn này, với điểm $Z$ thuộc cung $EF$ không chứa $B,C$ thì $\widehat{EZF}=180^{\circ }-\widehat{EBF}=180^{\circ }-(90^{\circ }-A)=90^{\circ }+A$; với điểm thuộc cung còn lại thì $\widehat{EZF}=90^{\circ }-A$. Cả hai giá trị đều đúng bằng $A-90^{\circ }(\mathrm{mod}180^{\circ })$ như đã chứng minh.

Vậy khi $X,Y$ thay đổi trên các đường thẳng $BE,CF$ sao cho $\widehat{XAY}=90^{\circ }$, điểm $Z$ luôn thuộc đường tròn cố định là đường tròn đường kính $BC$ (đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$). $■$