Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Lấy điểm $P$ sao cho hai đường phân giác trong của góc $\widehat{PBC}$ và $\widehat{PCB}$ cắt nhau tại điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$, $Q$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ và $AC$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PBC$ và đường tròn nội tiếp tam giác $KBC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại cùng một điểm.
b) Chứng minh $P,Q,K$ thẳng hàng.

a) Kẻ đường kính $AL$ và $G$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $B$ của $△PBC$.
Ta thấy $\angle LBA=\angle LCA=90^{\circ }$ mà $KB,KC$ đối xứng với $BC$ qua $AB,AC$ nên $BL$ là phân giác $\angle CBK$ và $CL$ là phân giác $\angle BCK$ nên $L$ là tâm đường tròn nội tiếp $△KBC$.
Dễ thấy $G,H$ đối xứng qua trung điểm $BC$, mà $H$ là tiếp điểm tâm nội $I$ của $△PBC$ nên theo tính chất quen ta có $G$ là tiếp điểm tâm bàng $J$ hay $J,L,G$ thẳng hàng.
b) Gọi $PJ,AK$ cắt $BC$ lần lượt tại $N,R$. Theo hàng điểm phân giác và hàng điểm tứ giác toàn phần ta có $(ALRK)=(AIHQ)=-1\Rightarrow IL,RH,KQ$ đồng quy tại $S$.
Gọi $CL$ cắt $BJ$ tại $X$, $BL$ cắt $CJ$ tại $Y$, $XY$ cắt $GJ$ tại $R$. Ta có $(GRLJ)=(HQIA)=-1$ và $AH//GJ$ nên $AJ,LI,HG,QR$ đồng quy tại $S$.
Lại có $(PNIJ)=-1\Rightarrow S(PINJ)=S(PIHA)=-1=S(QIHA)\Rightarrow S,P,Q$ thẳng hàng hay $P,Q,K$ thẳng hàng.