Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $\tau (n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
a) Chứng minh rằng $\tau (n)\le 2\sqrt{n}$, với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $\tau (n),\tau (\tau (n)),\tau (\tau (\tau (n))),\dots$, không chứa bất kì số chính phương nào.

a) Nếu $n$ không là số chính phương thì các ước của $n$ ghép thành các cặp $d,\frac{n}{d}$ nằm ở hai phía của $\sqrt{n}$. Vì thế $\tau (n)\le 2\lfloor \sqrt{n}\rfloor <2\sqrt{n}$.
Còn nếu $n$ là số chính phương thì $\sqrt{n}$ là ước không được ghép cặp, nên $\tau (n)\le 2\sqrt{n}-1<2\sqrt{n}$.
b) Ta sẽ chứng minh một số nguyên dương $m$ có dãy $m,\tau (m),\tau (\tau (m)),\dots$ không chứa số chính phương khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố.
Nếu $m$ là số nguyên tố thì $\tau (m)=2$ và $\tau (2)=2$ nên thoả mãn.
Giả sử $m$ là hợp số và dãy trên không chứa số chính phương. Khi đó $m$ không chính phương, nên $\tau (m)$ là số chẵn và $\tau (m)\ge 4$. Nếu $\tau (m)$ không chính phương thì nó lại là một hợp số. Hơn nữa, với mọi hợp số $m\ge 4$, câu a) cho ta $\tau (m)<2\sqrt{m}\le m$. Bởi vậy, nếu dãy không có số chính phương nào thì ta thu được một dãy giảm nghiêm ngặt gồm các hợp số, điều không thể xảy ra. Suy ra $m$ phải là số nguyên tố.
Áp dụng kết luận này cho $m=\tau (n)$, điều kiện bài toán tương đương với $\tau (n)$ là số nguyên tố.
Viết $n=q_1^{{\alpha }_1}\cdots q_t^{{\alpha }_t}$, ta có $\tau (n)=({\alpha }_1+1)\cdots ({\alpha }_t+1)$.
Tích này là số nguyên tố khi và chỉ khi $t=1$ và ${\alpha }_1+1$ là số nguyên tố.
Vậy tất cả các số cần tìm là $n=q^{p-1}$ trong đó $p,q$ là các số nguyên tố.