Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Dựng hai đường kính AA', BB' của đường tròn (O) và điểm D sao cho A'CB'D là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, E là giao điểm của BD và AC, F là giao điểm của CD và AB. Gọi H₁, H₂ lần lượt là trực tâm của hai tam giác BEC và BFC. a) Chứng minh hai tam giác ABC và MH₁H₂ có cùng trực tâm. b) Đường thẳng BC cắt hai đường thẳng A'D, H₁H₂ lần lượt tại K, T. Gọi S, G, I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (MH₂, KH₁), (KH₂, MH₁) và (SG, H₁H₂). Gọi X là hình chiếu vuông góc của G lên ST. Chứng minh bốn điểm S, X, I và trung điểm của đoạn thẳng H₁H₂ cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 4HSGChuyên đề: Đường tròn và tứ giác nội tiếp • Lớp 10, 11, 12Vận dụng cao

Thuộc đề: Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT 2026-2027, Sở GD&ĐT TP Đà Nẵng, Môn Toán

Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân $(A B < A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Dựng hai đường kính $A A^{'}$ , $B B^{'}$ của đường tròn $(O)$ và điểm $D$ sao cho $A^{'} C B^{'} D$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ , $E$ là giao điểm của $B D$ và $A C$ , $F$ là giao điểm của $C D$ và $A B$ . Gọi $H_{1}, H_{2}$ lần lượt là trực tâm của hai tam giác $B E C$ và $B F C$ .
a) Chứng minh hai tam giác $A B C$ và $M H_{1} H_{2}$ có cùng trực tâm.
b) Đường thẳng $B C$ cắt hai đường thẳng $A^{'} D$ , $H_{1} H_{2}$ lần lượt tại $K, T$ . Gọi $S, G, I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(M H_{2}, K H_{1})$ , $(K H_{2}, M H_{1})$ và $(S G, H_{1} H_{2})$ . Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $S T$ . Chứng minh bốn điểm $S, X, I$ và trung điểm của đoạn thẳng $H_{1} H_{2}$ cùng nằm trên một đường tròn.

Phương pháp & hướng dẫn giải

Phương pháp & hướng dẫn giải: (1) Gọi N,P lần lượt là trung điểm CA, AB. Gọi H là trực tâm triangle ABC. Ta dễ thấy BH ∥ B'D và BH = B'D nên BD ∥ B'H. ⇒ HN ⊥ CH₁ (do N là trung điểm HB') mà HH₁ ⊥ CN. ⇒ N... Xem đáp án chính thức và trọn bộ lời giải chi tiết từng bước câu hỏi thuộc Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT 2026-2027, Sở GD&ĐT TP Đà Nẵng, Môn Toán trên dethichuan.com.

Quảng cáo

Câu hỏi này trích từ đề thi chính thức:

Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT 2026-2027, Sở GD&ĐT TP Đà Nẵng, Môn Toán

7 câu hỏi•Thời gian 180 phút•Chấm điểm & giải thích chi tiết

Tải đề PDF (Có đáp án)Làm trọn bộ đề thi này

Các câu hỏi khác trong đề (7 câu)

Xem toàn bộ đề →

Câu 1:Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực dương (a n) thỏa mãn điều kiện a n (a n+1 2-1 )=a n+1 (a n 2+1 ), n N *. a) Chứng minh a n=+ . b) Tính 1 n

Xem →

Câu 2:Xét hàm số f: N * N * thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên dương m, n, a: (i) f (f(m) f(n) )=mn ; (ii) f(2027a+1)=2027a+1.

Xem →

Câu 3:Xét phương trình a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương k cố định, chỉ có hữu hạn số n là hợp số thỏa mãn phương trình. b) Tìm tất cả các số

Xem →

Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn, không cân $(AB

Xem →

Câu 5:Cho đường tròn (O) cố định và điểm I cố định nằm trong đường tròn đó (I khác O). Một đường thẳng d thay đổi đi qua I nhưng không qua O và cắ

Xem →

Câu 6:Gọi A là tập hợp gồm 2026 số nguyên dương đầu tiên. Nếu hoán vị (a 1, a 2, , a 2026 ) của các phần tử thuộc A thỏa mãn a i > a i+1 với i \ 1

Xem →

Câu 7:Cho c 1, c 2, , c k là các số nguyên dương và P(x) là đa thức khác hằng có hệ số nguyên. a) Chứng minh tập hợp các số nguyên tố là ước của í

Xem →

Chuyên đề Toán • Lớp 10, 11, 12

Bài tập trắc nghiệm cùng chuyên đề: Đường tròn và tứ giác nội tiếp (109 câu)

Luyện 10 câu cùng dạng Xem trọn chuyên đề Kho vận dụng cao (d3–d4)

Câu luyện thêm 1Trích từ: Đề Cương Ôn Tập Kiểm Tra Cuối Học Kỳ I Toán 10 THPT Sơn Động Số 3 - Đề Minh Họa

Đồng 50 xu của Úc có hình dạng của một hình thập nhị giác đều. Tám đồng 50 xu này được xếp để che phủ một phần của tờ 10 đô la Úc như hình minh họa. Tỉ số diện tích phần không bị che phủ và diện tích tờ 10 đô la Úc là

\frac{a}{b}

(a, b \in N^{*}

và

\frac{a}{b}

là phân số tối giản). Hình từ đề gốc

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 2Trích từ: Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 11 Đợt 2 2024-2025

Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn

A B C

(A C > A B)

có đường cao

A K

(K \in B C)

và trực tâm

H

. Đường thẳng

B H

cắt đường tròn đường kính

A C

tại

M

N

(M

nằm giữa

B

và

N)

. Đường thẳng

C H

cắt đường tròn đường kính

A B

tại

E

F

(E

nằm giữa

C

và

F)

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

M K E

cắt

B C

tại điểm thứ hai là

P

.
a) Chứng minh tứ giác

M E N F

nội tiếp và

E N F = B A E

.
b) Chứng minh ba đường thẳng

B E

C M

P H

đồng quy.

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 3Trích từ: Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Sở GD&ĐT Tỉnh Lào Cai - Môn Toán - Ngày 1 (15/9/2026)

Cho tam giác

A B C

(A B < A C)

có đường tròn nội tiếp

(I)

tiếp xúc với

B C

C A

A B

lần lượt tại

D

E

F

. Gọi

H

là giao điểm của

A I

và

B C

;

K

L

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

H

trên

I B

và

I C

. Qua

D

kẻ đường thẳng vuông góc với

A I

cắt

I B

I C

lần lượt tại

X

và

Y

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của

D E

D F

và

E F

a) Chứng minh rằng

K L ∥ B C

và bốn điểm

K

L

X

Y

cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi

O_{1}

O_{2}

lần lượt là tâm của hai đường tròn

(M K L)

và

(D I P)

. Chứng minh rằng giao điểm của

(M K L)

và

(D I P)

thuộc đường tròn đường kính

O_{1} O_{2}

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 4Trích từ: Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Sở GD&ĐT Tỉnh Lào Cai - Môn Toán - Ngày 2 (16/9/2026)

Cho tứ giác

A B C D

không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm

O

. Gọi

M

là trung điểm của

C D

;

F

là giao điểm của

A D

và

B C

. Các tiếp tuyến tại

C

và

D

của đường tròn

(F C D)

cắt nhau tại

S

. Gọi

P

là giao điểm

S F

và

C D

;

E

là giao điểm của

A C

và

B D

;

H

là hình chiếu của

E

trên

S F

;

K

là giao điểm thứ hai của hai đường tròn

(A B E)

và

(C D E)

.
a) Chứng minh rằng các điểm

K, P, M, H

cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là

(ω)

.
b) Tiếp tuyến tại

P

của đường tròn

(ω)

cắt đường tròn

(C D E)

tại

X, Y

. Gọi

Q

là giao điểm thứ hai của

K P

với đường tròn

(C D E)

. Chứng minh rằng

E Q

là tia phân giác của

X E Y

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 5Trích từ: Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT - Hà Tĩnh - Môn Toán - Ngày 1 (19/8/2026)

Cho đường tròn

(O)

và

B C

là một dây cung không đi qua tâm. Điểm

M

thuộc đường tròn

(O)

sao cho tam giác

M B C

nhọn. Tiếp tuyến tại

M

và

B

của

(O)

cắt nhau ở

D

. Đường thẳng

C D

cắt

(O)

tại điểm thứ hai là

E

. Lấy điểm

F

thuộc đoạn thẳng

C E

sao cho

C M F = B C D

. Gọi

I

là giao điểm thứ hai của

M F

và đường tròn

(B C F)

J

là giao điểm thứ hai của

B F

và đường tròn

(M C F)

a) Chứng minh

I, J, O, F

cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi

P

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

M B D

. Chứng minh

I J ⊥ C P

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 6Trích từ: Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT - Hà Tĩnh - Môn Toán - Ngày 2 (20/8/2026)

Cho tam giác

A B C

nhọn có

H

là chân đường cao kẻ từ

A

. Lấy điểm

P

sao cho hai đường phân giác trong của góc

P B C

và

P C B

cắt nhau tại điểm

I

thuộc đoạn thẳng

A H

. Gọi

E

là giao điểm của

B I

và

A C

F

là giao điểm của

C I

và

A B

Q

là giao điểm của

E F

và

A H

. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với

B C

qua

A B

và

A C

, hai đường thẳng này cắt nhau tại

K

.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc

P

của tam giác

P B C

và đường tròn nội tiếp tam giác

K B C

tiếp xúc với cạnh

B C

tại cùng một điểm.
b) Chứng minh

P, Q, K

thẳng hàng.

Xem trang câu hỏi →

Muốn biết hiện tại bạn đạt khoảng bao nhiêu điểm ở môn này? Làm thử đề nhanh 15 phút để hệ thống chấm điểm ngay.

Làm đề nhanh 15 phút ngay