Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $V_1,V_2,V_3$ lần lượt là thể tích hình nón tròn xoay bởi tam giác $ABC$ khi nó quay quanh các cạnh $BC,AC,AB$. Biết $V_2=3\pi ,V_3=4\pi$. Tính $V_1$?

Đặt $AB=c,AC=b$, chiều cao kẻ từ $A$ xuống $BC$ là $h=\frac{bc}{a}$ với $a=\sqrt{b^2+c^2}$.
Khi quay quanh $AC$: bán kính đáy là $c$, chiều cao $b\Rightarrow V_2=\frac{1}{3}\pi c^{2}b=3\pi \Rightarrow c^{2}b=9$.
Khi quay quanh $AB$: bán kính đáy là $b$, chiều cao $c\Rightarrow V_3=\frac{1}{3}\pi b^{2}c=4\pi \Rightarrow b^{2}c=12$.
Chia hai biểu thức: $\frac{b^{2}c}{c^{2}b}=\frac{b}{c}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{4}{3}c$.
Thay vào: $c^2\cdot \frac{4}{3}c=9\Rightarrow c^3=\frac{27}{4}\Rightarrow c=\frac{3}{\sqrt[3]{4}},b=\sqrt[3]{16}$.
Đặc biệt, ta có hệ thức giữa các thể tích: $\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}$.
$\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{(3\pi {)}^2}+\frac{1}{(4\pi {)}^2}=\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}=\frac{25}{144{\pi }^2}\Rightarrow V_1=\frac{12\pi }{5}$