Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập $X$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$. Xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$ bằng $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $T=a+b$.

Số phần tử của tập $S$ là $n(S)=8^4=4096$.
Trong tập $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$ có $2$ chữ số chia hết cho $3$ ($\{3,6\}$), $3$ chữ số chia cho $3$ dư $1$ ($\{1,4,7\}$) và $3$ chữ số chia cho $3$ dư $2$ ($\{2,5,8\}$).
Gọi $u_k,v_k,w_k$ lần lượt là số các số có $k$ chữ số lập từ $X$ chia cho $3$ dư $0,1,2$. Ta có $u_k+v_k+w_k=8^k$ và $u_k-v_k=(-1{)}^k,v_k=w_k$, suy ra số các số có $4$ chữ số chia hết cho $3$ là $u_4=\frac{8^4+2\cdot (-1{)}^4}{3}=\frac{4096+2}{3}=1366$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}=\frac{a}{b}$ với $\gcd (683,2048)=1\Rightarrow a=683,b=2048$.
Vậy $T=a+b=683+2048=2731$.