Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $12cm$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$, $BC$ và $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Biết rằng mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $AD$ tại $Q$. Tính diện tích tứ giác $MNPQ$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị $c{m}^2$)

Đáp án: 35,7.

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel AB$ và $MN=\frac{AB}{2}=6$.

Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$, $AB$, mà $P\notin AB$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AB$, cắt $AD$ tại $Q$. Do đó $PQ\parallel AB$.

Trong tam giác $ABD$ có $PQ\parallel AB$ nên $\frac{DQ}{DA}=\frac{DP}{DB}=\frac{PQ}{AB}=\frac{1}{3}$, suy ra $PQ=4$, $AQ=8$.

Tam giác $AMQ$ có $AM=6$, $AQ=8$, $\widehat{MAQ}=60^{\circ }$ nên
$M{Q}^2=A{M}^2+A{Q}^2-2\cdot AM\cdot AQ\cdot \cos 60^{\circ }=36+64-48=52$.

Tương tự, tam giác $BNP$ có $BN=6$, $BP=8$, $\widehat{NBP}=60^{\circ }$ nên $N{P}^2=52$, suy ra $MQ=NP=\sqrt{52}$.

Tứ giác $MNPQ$ có $MN\parallel PQ$, $MN\ne PQ$ và $MQ=NP$ nên là hình thang cân.

Kẻ $QI\perp MN$ $(I\in MN)$, ta có $MI=\frac{MN-PQ}{2}=1$, $QI=\sqrt{M{Q}^2-M{I}^2}=\sqrt{52-1}=\sqrt{51}$.

Vậy $S_{MNPQ}=\frac{(MN+PQ)\cdot QI}{2}=\frac{(6+4)\sqrt{51}}{2}=5\sqrt{51}\approx 35,7\left(c{m}^2\right)$.