Cho tứ diện $ABCD$, gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AC$, $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$.
a) Chứng minh: $IJ//CD$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(GIJ)$ và $(BCD)$.
c) Cho biết $CD=6$. Biết $(GIJ)$ cắt $BC,BD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính $2IJ+3MN=?$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ACD$, $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD=3$.

b) Ta có $I\in (BCD)$? Không, $I\notin (BCD)$. Xét: $G\in (BCD)$ và $G\in (GIJ)$ nên $G$ thuộc giao tuyến. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, $IJ\subset (GIJ)$, $CD\subset (BCD)$, do đó đường thẳng qua $G$ song song với $CD$ (nằm trong $(BCD)$) cũng song song với $IJ$, nên nó chính là giao tuyến. Vậy giao tuyến của $(GIJ)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và $d\parallel CD$ (hay $d\parallel IJ$).

c) Đường thẳng $d$ qua $G$ song song $CD$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $BD$ tại $N$. Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BD}=\frac{2}{3}$ (vì $G$ cách đỉnh $B$ một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ đường trung tuyến). Suy ra $MN$ là đường trung bình tương tự: $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 6=4$, và $G$ là trung điểm $MN$.

Vậy $2IJ+3MN=2\cdot 3+3\cdot 4=6+12=18$.