Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$ và $P$ là một điểm nằm trên $CD$. Đường thẳng $BC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ//BD$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$.

Ta có $BD\subset (BCD)$ và $MN\subset (MNP)$, với $BD\not\subset (MNP)$, nên theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $BD$.

Mặt khác, $Q$ là giao điểm của $BC$ với $(MNP)$, mà $BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$. Do đó giao tuyến này chính là đường thẳng $PQ$.

Vậy $PQ\parallel BD$. Đpcm.