Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trung điểm của đoạn MN. Tìm giao điểm của AG với mp(BCD).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi K là trọng tâm tam giác BCD. Vì N là trung điểm CD nên K thuộc DN với DK = (2/3)DN. Trong tam giác ABN, M là trung điểm AB và G là trung điểm MN, nên đường thẳng AG cắt BN tại trung điểm I của BN (tính chất đường trung bình: đoạn nối trung điểm MN và trung điểm AG... xét tam giác ABN: M trung điểm AB, G trung điểm MN ⇒ MG // BN, và A, G, K thẳng hàng vì AK cắt MN tại trung điểm của MN). Cụ thể: trong tam giác ABN, gọi I là giao của AG với BN, thì do M và G lần lượt là trung điểm AB và MN, đường thẳng AG đi qua trọng tâm... Xét theo vectơ: G là trung điểm MN nên $\vec{G}=\frac{\vec{M}+\vec{N}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}$, tức G là trọng tâm tứ diện. Trọng tâm K của tam giác BCD có $\vec{K}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$. Điểm trên đường thẳng AG có dạng $A+t(G-A)$; khi hệ số của A triệt tiêu: $1+t(\frac{1}{4}-1)=0\Rightarrow t=\frac{4}{3}$, khi đó điểm ấy là $\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3}=K$. Vậy đường thẳng AG cắt mặt phẳng (BCD) tại K là trọng tâm tam giác BCD, với $\overrightarrow{AK}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}$... chính xác là $AG:GK=3:1$ (G nằm giữa A và K, $AG=\frac{3}{4}AK$).