Tính các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{2+x-\sqrt{x+2}}{x+2}$;
b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+5}+n-1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Đặt $t=\sqrt{x+2}$, khi $x\to -2^{+}$ thì $t\to 0^{+}$ và $x+2=t^2$. Khi đó $2+x-\sqrt{x+2}=t^2-t=t(t-1)$, nên $\frac{2+x-\sqrt{x+2}}{x+2}=\frac{t(t-1)}{t^2}=\frac{t-1}{t}$. Do đó $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{t-1}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\left(1-\frac{1}{t}\right)=-1$. Vậy giới hạn bằng $-1$.

Câu b) Ta có $\sqrt{n^2+2n+5}=\sqrt{(n+1{)}^2+4}\ge n+1$ với mọi $n$. Suy ra $\sqrt{n^2+2n+5}+n-1\ge (n+1)+n-1=2n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+5}+n-1\right)=+\infty$.