Cho tứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$; $N,P$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AD$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AC$ và $(MNP)$. Thể tích khối đa diện $ABMNPQ$ bằng

Gọi $E=MN\cap CD$. Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta BCD$ với ba điểm thẳng hàng $M,N,E$:
$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot \frac{ND}{NB}=1⟺\frac{1}{2}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot 1=1⟹\frac{EC}{ED}=2$.
Trong mặt phẳng $(ACD)$, đường thẳng $EP$ cắt $AC$ tại $Q$. Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta ACD$ với ba điểm $Q,P,E$:
$\frac{QA}{QC}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot \frac{PD}{PA}=1⟺\frac{QA}{QC}\cdot 2\cdot 1=1⟹\frac{QA}{QC}=\frac{1}{2}$.
Ta có $\frac{V_{E.NPD}}{V_{E.MCQ}}=\frac{EN}{EM}\cdot \frac{EP}{EQ}\cdot \frac{ED}{EC}=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{32}$.
Do đó $V_{MCDNPQ}=\frac{23}{32}{V}_{E.MCQ}$.
Mặt khác $\frac{V_{E.MCQ}}{V_{D.ABC}}=\frac{d(E,(ABC))}{d(D,(ABC))}\cdot \frac{S_{CMQ}}{S_{ABC}}=2\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\right)=2\cdot \frac{4}{9}=\frac{8}{9}$.
Suy ra $V_{MCDNPQ}=\frac{23}{32}\cdot \frac{8}{9}{V}_{ABCD}=\frac{23}{36}{V}_{ABCD}$.
Thể tích phần đa diện cần tìm là:
$V_{ABMNPQ}=V_{ABCD}-V_{MCDNPQ}=\left(1-\frac{23}{36}\right)V_{ABCD}=\frac{13}{36}{V}_{ABCD}$.
Với tứ diện đều cạnh 1, $V_{ABCD}=\frac{\sqrt{2}}{12}$.
Vậy $V_{ABMNPQ}=\frac{13}{36}\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{13\sqrt{2}}{432}$.