Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, G thứ tự là trung điểm của AB; CD và MN; E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
1) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$
2) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$
3) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Chứng minh ba khẳng định về vectơ.

1) Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$; vì N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Do đó
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}).$$
Vì G là trung điểm MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$.

2) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\vec{0}$. Do đó
$$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}.$$
Mặt khác, với điểm O tùy ý, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EO}-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$. Theo câu 1) với O = G: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, nên $\vec{u}=4\overrightarrow{EG}$. Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

3) Từ câu 2), vế trái bằng $\overrightarrow{EA}$ (vì $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\vec{0}$ do E là trọng tâm tam giác BCD). Suy ra $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$. Điều này cũng cho thấy A, G, E thẳng hàng và $EG=\frac{1}{4}EA$.