Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{2x^2+5y^2}{2+xy}=5+2xy-2x^2-5y^2$. Biết rằng biểu thức $P=\frac{2x-y+2}{x-2y+4}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=m,y=n$. Giá trị của tổng $m+n$ bằng

Phương trình tương đương ${\log }_2(2x^2+5y^2)+(2x^2+5y^2)={\log }_2(2+xy)+5+2xy={\log }_2(64+32xy)+\dots$ Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến, ta suy ra hệ thức bậc hai giữa $x$ và $y$ xác định một đường tròn hoặc elip. Tìm giá trị lớn nhất của $P$ bằng phương pháp miền giá trị hoặc lượng giác hóa, ta tìm được điểm đạt cực đại có $m+n=2$. Vậy chọn D.